Question

双曲线E的渐近线方程为y=±

4

3

x，且经过点(2

3

，

4 3

3

)
（1）求双曲线E的方程；
（2）F₁，F₂为双曲线E的两个焦点，P为双曲线上一点，若|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

分析：（1）设双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），代入点(2

3

，

4 3

3

)，可得λ的值，从而可求双曲线E的方程；
（2）利用双曲线的定义，结合余弦定理，即可求∠F₁PF₂的大小．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），
代入点(2

3

，

4 3

3

)，可得

12

9

-

3

9

=λ，
∴λ=1，
∴双曲线E的方程为

x2

9

-

y2

16

=1；
（2）由

x2

9

-

y2

16

=1得c²=25，
∴4c²=100
设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则|d₁-d₂|=6…①
由已知条件：d₁•d₂=32…②
由①、②得，d₁²+d₂²=100
在△F₁PF₂中，由余弦定理得，cos∠F₁PF₂=

d12+d22-4c2

2d1d2

=0
∴∠F₁PF₂=90°

点评：解决焦点三角形问题一般要用到两种知识，一是曲线定义，本题中由双曲线定义可得焦半径之差，已知有焦半径之积，故可求出焦半径或其关系；二是余弦定理，利用解三角形知识求角或面积．