Question

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
（2）试比较S_n与n³的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取x=1，即可求得 a的值．对所给的等式两边求导，再取x=2，可得S_n的值．
（2）要比较S_n与n³的大小，即比较：3^n-1与n²的大小，当n=1，2时，3^n-1＜n²； 当n=3时，3^n-1=n²； 当n=4，5时，3^n-1＞n² ． 猜想：当n≥4时，3^n-1＞n²，再用数学归纳法证明．
解答：解：（1）取x=1，可得 ． …（1分）
对等式两边求导，得，
取x=2，则．       …（4分）
（2）要比较S_n与n³的大小，即比较：3^n-1与n²的大小，
当n=1，2时，3^n-1＜n²；  当n=3时，3^n-1=n²； 当n=4，5时，3^n-1＞n²． …（6分）
猜想：当n≥4时，3^n-1＞n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k-1＞k²，
当n=k+1时，3^（k+1）-1=3•3^k-1＞3k²．
而3k²-（k+1）²=2k²-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3^（k+1）-1＞3•3^k-1＞3k²＞（k+1）²，故当n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3^n-1＞n²成立．    …（11分）
综上得，当n=1，2时，； 当n=3时，；当n≥4，n∈N^*时，．…（12分）
点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入．还考查了数学归纳法的应用，属于中档题．