Question

如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，已知BC=5，BD=10，则AB=

 

；

CF

DE

=

 

．

Answer 1

分析：由已知条件中AC，AD均为切线，结合弦切角定理，我们不难得到△ABC∽△DBA，又由已知BC=5，BD=10，可以得到一个关于AB的方程，解方程即可求出AB的值．根据切割线定理我们知道，CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，根据△ABC∽△DBA，我们可得

CA

DA

的值，代入即可得到结果．

解答：解：根据弦切角定理，
知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，
故△ABC∽△DBA，
则

AB

DB

=

BC

BA

，
故AB2=BC•BD=50，AB=5

2

．
根据切割线定理，
知CA²=CB•CF，DA²=DB•DE，
两式相除，
得

CA2

DA2

=

CB

DB

•

CF

DE

（*）．
由△ABC∽△DBA，
得

AC

DA

=

AB

DB

=

5 2

10

=

2

2

，

CA2

DA2

=

1

2

，
又

CB

DB

=

5

10

=

1

2

，
由（*）得

CF

DE

=1．
故答案为：5

2

，1

点评：本小题主要考查圆的切线及有关知识，如弦切角定理和切割线定理，以及分析问题与解决问题的能力、转化与化归的思想方法．在平面几何中，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．