Question

设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[

3

2

，+∞），f（

x

m

）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：依据题意得

x2

m2

-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈[

3

2

，+∞)上恒定成立，即

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在x∈[

3

2

，+∞)上恒成立，求出函数函数y=-

3

x2

-

2

x

+1的最小值即可求出m的取值．

解答：解：依据题意得

x2

m2

-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈[

3

2

，+∞)上恒定成立，
即

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在x∈[

3

2

，+∞)上恒成立．
当x=

3

2

时，函数y=-

3

x2

-

2

x

+1取得最小值-

5

3

，所以

1

m2

-4m2≤-

5

3

，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，
解得m≤-

3

2

或m≥

3

2

，
故答案为：（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）．

点评：本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．