Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-2ax²+b（a＞0）在区间[-2，1]上的最大值是5，最小值是-11．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若t∈[-1，1]时，f'（x）+tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x的范围判断函数在[-2，1]上的单调性，进而表示出函数在[-2，1]上的最大值，可求出a的值，确定函数f（x）的解析式．
（2）根据（1）中函数f（x）的导函数将问题f'（x）+tx≤0转化为3x²-4x+tx≤0成立，然后令g（t）=xt+3x²-4x，问题又转化为g（t）≤0在t∈[-1，1]上恒成立，再由一次函数的性质可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-2ax²+b，
∴f'（x）=3ax²-4ax=ax（3x-4）
令f'（x）=0，得x1=0，x2=

4

3

∉[-2，1]
因为a＞0，所以可得下表：

因此f（0）必为最大值，∴f（0）=5，因此b=5，
∵f（-2）=-16a+5，f（1）=-a+5，∴f（1）＞f（-2），
即f（-2）=-16a+5=-11，∴a=1，
∴f（x）=x³-2x²+5

（Ⅱ）∵f'（x）=3x²-4x，∴f'（x）+tx≤0等价于3x²-4x+tx≤0，
令g（t）=xt+3x²-4x，则问题就是g（t）≤0在t∈[-1，1]上恒成立时，求实数x的取值范围，
为此只需

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

3x2-5x≤0 x2-x≤0

，
解得0≤x≤1，所以所求实数x的取值范围是[0，1]．

点评：本题主要考查函数的求导运算和函数在闭区间上的最值．导数时高考必考题，要重视．