Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴为短轴的

3

倍，直线y=x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右顶点，

OA

•

OC

=

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上两点E、F使

OE

+

OF

=λ

OA

，λ∈（0，2），求△OEF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知a=

3

b，C（a，0），设A（t，t），把A点坐标代入椭圆方程求得t，进而表示出

OA

和

OC

进而根据，

OA

•

OC

=

3

2

求得a和b，椭圆方程可得．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF中点为M（x₀，y₀），根据

OE

+

OF

=λ

OA

的方程组，把E，F点坐标代入椭圆方程，两式相减可得

x12-x22

3

+y₁²-y₂²=0，进而可得直线EF的斜率，根据点斜式写出直线EF的方程，代入椭圆方程消去x，进而根据韦达定理求出
y₁+y₂和y₁y₂进而表示出|EF|，同时表示出原点到直线EF的距离，进而根据三角形面积公式，表示出三角形OEF的面积，根据λ的范围求得△OEF面积的最大值．

解答：解：（1）根据题意，a=

3

b，C（a，0），
设A（t，t），则t＞0，

t2

a2

+

t2

b2

=1．
解得t²=

a2b2

a2+b2

=

3

4

b²，即t=

3

2

b，
∴

OA

=（

3

2

b，

3

2

b），

OC

=（a，0），

OA

•

OC

=

3

2

ab=

3

b²=

3

2

，
∴b=1，a=

3

，
∴椭圆方程为

x2

3

+y²=1．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF中点为M（x₀，y₀），
∵

OE

+

OF

=λ

OA

，
∴

2x0=x1+x2= 3 2 λ 2y0=y1+y2 = 3 2 λ

∵E、F在椭圆上，则

x12 3 + y12 =1① x22 3 +y22=1②

由①-②得

x12-x22

3

+y₁²-y₂²=0，
∴k_EF=

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

3

，
∴直线EF的方程为y-

3

4

λ=-

1

3

（x-

3

4

λ），
即x=-3y+

3

λ，代入

x2

3

+y²=1，
整理得4y²-2

3

λy+λ²-1=0，
∴y₁+y₂=

3

2

λ，y₁y₂=

λ2-1

4

，
∴|EF|=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

10

|y₁-y₂|
=

10

•

3λ2-4(λ2-1)

2

=

10

•

4-λ2

2

，
又∵原点O（0，0）到直线EF的距离为h=

3 λ

10

，
∴S_△OEF=

1

2

|EF|h=

3λ 4-λ2

4

=

3

4

λ2(4-λ2)

≤

3

4

×

λ2+4-λ2

2

=

3

2

，
当λ=

2

时等号成立，所以△OEF面积的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．是高考中常考的题型，应注意总结规律．