Question

9．若实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=4，则a+c的取值范围是[$\frac{8}{3}$，4）∪（4，8]．

Answer 1

分析 实数a，b，c成等比数列，设公比为q，则a=$\frac{b}{q}$，c=bq．又a+b+c=4，可得b=$\frac{4}{\frac{1}{q}+q+1}$．当q＞0时，$0＜b≤\frac{4}{3}$．当q＜0时，0＞b≥-4．即可得出a+c=4-b的取值范围．

解答 解：实数a，b，c成等比数列，设公比为q，
则a=$\frac{b}{q}$，c=bq．
又a+b+c=4，
∴$\frac{b}{q}$+b+bq=4，
∴b=$\frac{4q}{1+q+{q}^{2}}$=$\frac{4}{\frac{1}{q}+q+1}$．
当q＞0时，$0＜b≤\frac{4}{3}$，当且仅当q=1时取等号．
当q＜0时，0＞b≥-4，当且仅当q=-1时取等号．
∴a+c=4-b，
∴当q＞0时，（a+c）∈[$\frac{8}{3}$，4）；
当q＜0时，（a+c）∈（4，8]．
则a+c的取值范围是[$\frac{8}{3}$，4）∪（4，8]．
故答案为：[$\frac{8}{3}$，4）∪（4，8]．

点评 本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．