Question

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70，80）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；
（Ⅱ）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；
（Ⅲ）先计算[60，70）、[70，80）分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）为事件A，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可．

解答：解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，
故

0.3

10

=0.03，
如图所示：（4分）（求频率（2分），作图2分）

（Ⅱ）平均分为：

.

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．（6分）
（Ⅲ）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9人；（7分）
[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18人；（8分）
∵在[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；
设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、（m，d）、（c，d）共15种，（10分）
则事件A包含的基本事件有：（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、（m，d）、（n，a）、（n，b）、（n，c）、（n，d）共9种，（11分）
∴P(A)=

9

15

=

3

5

．（12分）

点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．