题目内容

如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.

（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值；

（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明.

（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

答案：
解析：

（Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G.如图

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

∠A1B1C1=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B1P.

∴∠B1PG为所求二面角的平面角.

过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形.

∴PG=（b－d），

又B1G=h，

∴tanB1PG=（b＞d），即所求二面角的正切值为.

（Ⅱ）V估＜V.

证明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0.

∴V估＜V.


练习册系列答案
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如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1
∥
.
BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1
∥
.
1
2
BC．
（1）求证：A1B1⊥平面AA1C；
（2）求证：AB1∥平面A1C1C；
（3）求二面角C1-A1C-A的余弦值．
如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（Ⅰ）求证：AB1∥平面 A1C1C；
（Ⅱ）求BC与平面A1C1C所成角的正弦值．
（2012•青岛二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1∥BC，B1C1=
12
BC．
（Ⅰ）求证：面A1AC⊥面ABC；
（Ⅱ）求证：AB1∥面A1C1C．
（2012•合肥一模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊥平面ABC，AA1∥=BB1，AB=AC=AA1=
2
2
BC，B1C1∥=
1
2
BC．
（1）求证：A1B1⊥平面AA1C；
（2）若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C；
（3）若BC=2，求几何体ABC-A1B1C1的体积．
（2012•郑州二模）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB=AC，BC=
2
AB，B1C1
∥
.
1
2
BC，二面角A1-AB-C是直二面角．
（I）求证：A1B1⊥平面AA1C； 
（II）求证：AB1∥平面 A1C1C；
（II）求BC与平面A1C1C所成角的正弦值．

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