题目内容
已知经过点Q（6，0）的直线l与抛物线y2=6x交于A，B两点，O是坐标系原点，求
•
的值．
| OA |
| OB |
分析：当直线l的斜率不存在时，写出直线l的方程，求出A，B的坐标，直接代入数量积公式求值，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出两个交点A，B的横坐标的和与积，进一步求出纵坐标的积，直接代入数量积公式求值．
解答：解：若直线l的斜率不存在，则其方程为x=6，代入y2=6x得，A（6，6），B（6，-6），
所以
=(6，6)，
=(6，-6)，则
•
=6×6+6×(-6)=0；
若直线l的斜率存在，设其斜率为k（k≠0），则l的方程为y=kx-6k，
联立
，得k2x2-（12k2+6）x+36k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1+x2=
，x1x2=36
y1y2=（kx1-6k）（kx2-6k）=k2x1x2-6k2(x1+x2)+36k2
=36k2-6k2•
+36k2=-36．
所以
•
=x1x2+y1y2=36-36=0．
综上，
•
的值为0．
所以
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
若直线l的斜率存在，设其斜率为k（k≠0），则l的方程为y=kx-6k，
联立
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1+x2=
| 12k2+6 |
| k2 |
y1y2=（kx1-6k）（kx2-6k）=k2x1x2-6k2(x1+x2)+36k2
=36k2-6k2•
| 12k2+6 |
| k2 |
所以
| OA |
| OB |
综上，
| OA |
| OB |
点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用一元二次方程的根与系数关系解题，此题是中档题．
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的值．
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