Question

 P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知与共线，与共线，且。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

    分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。

Answer 1

    解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ方程为。代入椭圆方程得

    设P、Q两点的坐标分别为，则：

   

    从而

    ①当时，MN的斜率为，同上可推得

   

    故四边形面积

    令，得

    因为，此时，且S是以u为自变量的增函数，所以。

    ②当时，MN为椭圆长轴，

   

    综合①②知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为。