Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1= ．
（Ⅰ）求证：an+1＜an；
（Ⅱ）求证： ≤an≤ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由a1=1，an+1= ，得an＞0，（n∈N）， 则an+1﹣an= ﹣an= ＜0，
∴an+1＜an；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知0＜an＜1，又an+1= ．，∴ = ≥ ，即an+1＞ an ，
∴an＞ an﹣1≥（ ）2an﹣1≥…≥（ ）2an﹣1≥（ ）n﹣1a1= ，即an≥ ．
由an+1= ，则 =an+ ，
∴ ﹣ =an ，
∴ ﹣ =a1=1， ﹣ =a2= ， ﹣ =a3=（ ）2… ﹣ =an﹣1≥（ ）n﹣2 ，
累加得 ﹣ =1+ +（ ）2+…+（ ）n﹣2= =2﹣（ ）n﹣2 ，
而a1=1，
∴ ≥3﹣（ ）n﹣2= = ，
∴an≤ ．
综上得 ≤an≤
【解析】（Ⅰ）由an＞0，则做差an+1﹣an= ﹣an= ＜0，即可证明an+1＜an；（Ⅱ）由an+1＞ an ， an＞ an﹣1≥（ ）2an﹣1≥…≥（ ）2an﹣1≥（ ）n﹣1a1= ，则an≥ ．由 ﹣ =an ， 采用“累加法”即可求得 ≥3﹣（ ）n﹣2= = ，即可求得 ≤an≤ ．