Question

求过直线2x＋y＋4＝0和圆x²＋y²＋2x－4y＋1＝0交点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　①过直线与圆的交点的圆的方程可用圆系方程处理． 　　②利用函数的思想进行思考． 　　解法一　　令过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交点的圆系方程为：x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋4λ＋1＝0 　　r＝ 　　＝ 　　当r＝时rmin所求方程为(x＋)2＋(y－)2＝ 　　解法二　　因直线和圆为固定，直线被已知圆截得弦长固定，所以圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小．此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆的半径最小． 　　令动圆的方程为：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0，圆心为(－(1＋λ)，)代入2x＋y－4＝0得： 　　－2(1＋λ)＋＋4＝0，λ＝代入动圆的方程为： 　　x2＋y2＋x－y＋＝0