Question

已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）若（n∈N^*），求证：数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

Answer 1

解：（1）∵{a_n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0）…（1分）
∵a₁、a₂、a₄成等比数列，
∴…（2分）
由 （1+d）²=1×（1+3d）及d＞0，得d=1，…（3分）
∴a_n=n（n∈N^*）．…（4分）
（2）∵a_n+1=n+1，对n∈N^*都成立，
当n=1时，，得c₁=4，…（5分）
当n≥2时，由，①
及，②
①-②得，得…（7分）
∴．…（8分）
∴…（10分）
（3）对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t…（11分）
∵，只需，…（12分）
即，即
即kt=nt+nk+n，取k=n+1，则t=n（n+2）…（14分）
∴对数列{b_n}中的任意一项，
都存在和，
使得．…（16分）
分析：（1）由{a_n}是递增的等差数列，设公差为d（d＞0），由a₁、a₂、a₄成等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由a_n+1=n+1，对n∈N^*都成立，能推导出，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t，由，只需，由此能够证明数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，综合性强，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．