Question

(本小题满分10分)
如图,已知与圆相切于点,经过点的割线交圆于点、,的平分线分别交、于点、．

求证:(1) .
(2) 若求的值.

Answer 1

:(1)略 (2)=

试题分析：解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C，  ………2分
又∵∠APD=∠CPE,
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,                  ………4分
∴∠ADE=∠AED．                  ………5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,
∴△APC∽△BPA, ∴,      ………7分
∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圆O的直径，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．………9分
在Rt△ABC中，=, ∴=．………10分
点评：此类题目常涉及的图形有圆、切线和三角形。在解决此类题目时，常要找出两个相似三角形。