Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的右准线l的方程为x=，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于P，Q（异于A₁，A₂）两点，设直线PA₁与直线QA₂相交于点M（2x，y）．
①试用x，y表示点P，Q的坐标；
②求证：点M始终在一条定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件能够得到，由此可求出椭圆C的方程．
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0），方程为MA₁的方程为：，代入，
得．P（，）．同理可得Q（，）．再由P，Q，B三点共线，知k_PB=k_QB，从而得到点M始终在定直线x=4上．
解答：解：（1）由得
∴椭圆C的方程为；
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0），
方程为MA₁的方程为：，即．代入，
得，即．
∴=，
则=．
即P（，）．
同理MA₂的方程为，即．代入，
得，即．
∴=．
则=．
即Q（，）．
∵P，Q，B三点共线，
∴k_PB=k_QB，即．
∴．
即．
由题意，y≠0，
∴．
3（x+1）（x-1）²-（x+1）y²=（x-1）（x+1）²-3（x-1）y²．
∴（2x-4）（x²+y²-1）=0．则2x-4=0或x²+y²=1．
若x²+y²=1，即，则P，Q，M为同一点，不合题意．
∴2x-4=0，点M始终在定直线x=4上．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意培养计算能力．