Question

设r，s，t为整数，集合{a|a=2^r+2^s+2^t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a_n}．
（1）写出数列{a_n}的前三项；
（2）求a₃₆．

Answer 1

分析：（1）由于r，s，t为整数，且0≤t＜s＜r，下面对r进行分类讨论：r最小取2时，符合条件的数a有一个，当r=3时，符合条件有的数a有3个，由此求得数列{a_n}的前三项．
（2）同理可得r=4时，r=6时，r=7时，分别算出符合条件的数a的个数，最后利用加法原理计算即得．

解答：解：（1）∵r、s、t为整数且0≤t＜s＜r，∴r最小取2，此时符合条件的数a有

C

2 2

=1；…（4分）
当r=3时，s，t 可在0，1，2中取，符合条件有的数a有

C

2 3

=3；…（5分）
故数列{a_n}的前三项为：2⁰+2¹+2²=7，2⁰+2¹+2³=11，2⁰+2²+2³=13．
（2）同理，r=4时，符合条件有的数a有

C

2 4

=6；…（6分）
r=5时，符合条件有的数a有

C

2 5

=10；…（7分）
r=6时，符合条件有的数a有

C

2 6

=15；…（8分）
r=7时，符合条件有的数a有

C

2 7

=21；…（9分）
因此，a₃₆是r=7中的最小值，即 a₃₆=2⁰+2¹+2⁷=131．…（10分）

点评：本题主要考查两个基本计数原理及数列的通项公式等基本概念，既要会合理分类，又要会合理分步，一般是先分类，后分步．