Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）若数列{b_n}满足：，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）设c_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求使（n∈N^*）恒成立的实数k的范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根据2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比数列的通项；进而求出数列{b_n}的通项，最后集合分组求和即可得到数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）先求出c_n得表达式，再利用裂项求和求出T_n；进而把（n∈N^*）恒成立转化为k≥恒成立，最后求出不等式右边的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由=9a₂a₆得=9
所以q²=．
由条件可知q＞0，故q=．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=．
故数列{a_n}的通项式为a_n=
∴b_n=3ⁿ+ln=3ⁿ-nln3．
所以S_n=-ln3．
（Ⅱ）∵C_n=log₃+log₃a₂+…+log₃a_n，
=-（1+2+…+n）=-
故=-=-2（-），
T_n=+…+=-2[（1-）+（-）+…+（-）]=-
所以数列{}的前n项和为-．
（n∈N^*）化简得k≥恒成立
设d_n=，则d_n+1-d_n==．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
=d₄＜d₅=，所以，n=5时，d_n取得最大值为
所以，使（n∈N^*）恒成立的实数k≥．
点评：本题主要考察数列与不等式的综合以及数列求和的分组求和法，是对数列知识的综合考察，属于中档题目．