Question

（2013•海口二模）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：

x=2+tcosθ y=1+tsinθ

（为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C₁交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若

AB

=3

MB

，求直线的普通方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（Ⅱ）设A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）．把直线的参数方程代入曲线C₁的方程，根据t的几何意义即可求出．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ
∴曲线C₁的直角坐标方程是x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4（4分）
（Ⅱ）设A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）
由已知|

MA

|=2|

MB

|，注意到M（2，1）是直线参数方程恒过的定点，
∴t_A=-2t_B①
联立直线的参数方程与曲线C₁的直角坐标方程得：t²cos²θ+（1+tsinθ）²=4，
整理得：t²+2tsinθ-3=0，（6分）
∴t_A+t_B=-2sinθ，t_A•t_B=-3，与①联立得：sinθ=

6

4

，cosθ=±

10

4

∴直线的参数方程为

x=2+ 10 4 t y=1+ 6 4 t

，（为参数）或

x=2- 10 4 t y=1+ 6 4 t

，（为参数）．（8分）
消去参数得的普通方程为y=

15

5

x-

2 15

5

+1或y=-

15

5

x+

2 15

5

+1（10分）

点评：本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，考查了方程思想，属于基础题．