Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据导数的几何意义求出斜率，根据点斜式写出切线方程；
（2）对分，，讨论，通过导数符号得函数单调性，根据单调性求出函数的最值，再将能成立问题转化为最值，解不等式可得.

（1） 当时， ，

，

，

∴曲线在处的切线方程为，即；

（2）①当时，，

，

，不满足题意；

②当时，，

，；

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴只需即可，

令 ，其中，

∴只需，

，

时， ； 时， ，

在 上单调递减，在上单调增，

当时， ，

，不满足题意，

当时，，

∴要使，只需，即；

③当时，，

在区间上单调递减，

令，得， 令

结合图像知，存在， 使得，

∴当时，，满足题意，

综上所述，实数的取值范围是.