Question

（05年全国卷Ⅲ）（12分）

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，

侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD

（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小

Answer 1

解析：方法一：（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE

∵VAD是正三角形

∴AE⊥VD，AF=AD

∵AB⊥平面VAD     ∴AB⊥AE

又由三垂线定理知BE⊥VD

因此，是所求二面角的平面角

于是，

即得所求二面角的大小为

方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。

（Ⅰ）证明：不妨设，则，

由，得

又，因而与平面内两条相交直线都垂直。

∴平面

（Ⅱ）解：设为中点，则

由，得，又

因此，是所求二面角的平面角。

∵

∴解得所求二面角的大小为