Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是边长为1的正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

，G是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）求直线BE与平面ACG所成角的正弦值的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标及向量的坐标，由

AG

和

BG

的数量积等于0，

AG

和

BC

的数量积等于0证明线线垂直，从而得到线面垂直；
（Ⅱ）求出平面ACG的一个法向量，利用

BE

与平面法向量所成角的余弦值求得直线BE与平面ACG所成角的正弦值的大小．

解答：（I）证明：如图，

以A为坐标原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系．
A（0，0，0），G（

1

2

，

1

2

，0），C（0，1，1），B（0，1，0）

AG

=(

1

2

，

1

2

，0)

BG

=(

1

2

，-

1

2

，0)，

BC

=(0，0，1)，

AG

•

BG

=0，

AG

•

BC

=0
∴AG⊥BG，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）解：法一、
设面ACG的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n

•

AG

=

1

2

x+

1

2

y=0

n

•

AC

=y+z=0
取x=1，得

n

=（1，-1，1）
而

BE

=（

1

2

，0，0）
所以，cos＜

n

，

BE

＞=

1 2

3 • 1 2

=

3

3

所以直线BE与平面ACG所成角的正弦值为

3

3

法二、
由（I）AG⊥平面BCG，平面ACG⊥平面BCG
作BH⊥GC，∴BH⊥面ACG，延长AG、BE交于K，连HK，
所以∠KHB即为直线BE与平面ACG所成角．

由（I）知，AG⊥平面BCG；，故AG⊥BG，
AF=BE=

1

2

 AB．
BG=

2

2

AB，
BH=

BC•BG

CG

=

AB• 2 2 AB

6 2 AB

=

3

3

AB．
sin∠KHB=

BH

BK

=

3

3

所以直线BE与平面ACG所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查了利用空间向量证明线面间的垂直关系，考查了利用平面法向量求线面角的大小，关键是建立正确的空间右手系，考查了学生的计算能力，是中档题．