Question

已知三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，函数f(x)=

3

4

sin2x•(1+cos2C)-cos2x•sin2C+

11

16

的图象过点(

π

6

，

1

2

)．
（1）求sinC的值；
（2）当a=2，2sinA=sinC时，求b、c边的长．

Answer 1

分析：（1）把点(

π

6

，

1

2

) 代入f（x）的解析式，解方程求得sinC 的值．
（2）由

a

sinA

=

c

sinC

，2sinA=sinC，可得c=4，根据sinC的值求得cosC的值，三角形ABC中，由余弦定理可得
16=4+b²-4bcosC，解方程求出b值．

解答：解：（1）把点(

π

6

，

1

2

) 代入f（x）的解析式可得

1

2

=

3

4

•

3

2

•2cos2C-

3

4

•sin2C+

11

16

，
∴sinC=±

10

4

．
再由∠C 是△ABC的一个内角可得 sinC=

10

4

．
（2）由

a

sinA

=

c

sinC

，2sinA=sinC，可得

2

sinA

= 

c

sinC

，c=2a=4．
∵sinC=

10

4

，∴cosC=±

6

4

． 三角形ABC中，由余弦定理可得 16=4+b²-4bcosC   ①，
当cosC=

6

4

 时，代入 ①解得 b=2

6

，或  b=-2

6

（舍去）．
当cosC=-

6

4

 时，代入 ①解得 b=

6

，或  b=-2

6

（舍去）．
综上，c=4，b=2

6

，或  b=

6

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，求出c=4，
是解题的关键．