题目内容
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=4，AD=6，F，E分别是线段PD，CD的中点．（1）求直线AF和PB所成角的余弦值；
（2）求二面角F-AE-B平面角的余弦值．
【答案】分析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴立空间直角坐标系，写出A，B，C，D，E，F，P各点坐标，
（1）求出
夹角余弦值，再根据异面直线夹角与直线方向向量夹角关系求出．
（2）先求出平面BAE，面FAE的法向量，再求出两法向量夹角的余弦值，利用二面角平面角与法向量夹角关系求出即可．
解答：解：如图以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（6，0，0），C（6，6，0）D（0，6，0），P（0，0，4）E（3，6，0），F（0，3，2）．
（1）
…（6分）
∴直线AF和PB所成角的余弦值为
（2）由图易知设平面BAE的一个法向量为
．
设平面FAE的法向量为
，由
，
．得
令y=2，则
=（-4，2，-3）∴
因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以二面角F-AE-B平面角的余弦值为
．…（13分）
点评：本题考查空间角的度量考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
（1）求出
夹角余弦值，再根据异面直线夹角与直线方向向量夹角关系求出．（2）先求出平面BAE，面FAE的法向量，再求出两法向量夹角的余弦值，利用二面角平面角与法向量夹角关系求出即可．
解答：解：如图以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（6，0，0），C（6，6，0）D（0，6，0），P（0，0，4）E（3，6，0），F（0，3，2）．
（1）
…（6分）∴直线AF和PB所成角的余弦值为
（2）由图易知设平面BAE的一个法向量为
．设平面FAE的法向量为
，由
，
．得
令y=2，则
=（-4，2，-3）∴
因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以二面角F-AE-B平面角的余弦值为
．…（13分）点评：本题考查空间角的度量考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
练习册系列答案
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