题目内容
11．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC成60°的两面角，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①AC⊥BD；
②△DBC是等边三角形；
③三棱锥D-ABC的体积是$\frac{\sqrt{6}}{24}$．
其中正确命题的序号是（ ）
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ②③ | D． | ①②③ |
分析 通过证明AC⊥平面BOD，证明AC⊥BD，可得①正确；
过D作DO⊥AC于O，连接BO，利用勾股定理求得BD长，可得②正确；
利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可得③错误；
解答 解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：DO=BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵平面ADC⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，∴DO⊥BO，∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；
∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，①正确；
∵VD-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，∴③错误；
故选A．
点评 本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与计算能力．
练习册系列答案
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2．已知α、β、γ是三个不同的平面，α∥β，β∥γ，则α与γ的位置关系是（ ）
| A． | α∥γ | B． | α⊥γ | ||
| C． | α、γ与β的距离相等 | D． | α与γ有一个公共点 |
3．已知两条不同直线m，n，三个不同平面α，β，γ，下列命题中正确的是（ ）
| A． | 若m∥α，n∥α，m∥n | B． | 若m∥α，m∥β，α∥β | C． | 若α⊥γ，β⊥γ，α∥β | D． | 若m⊥α，n?α，m⊥n |
20．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
| A． | 若l⊥α，α⊥β，则l?β | B． | 若l∥α，α∥β，则l?β | C． | 若l∥α，α⊥β，则l⊥β | D． | 若l⊥α，α∥β，则l⊥β |