Question

已知数列{a_n}中,S_n是它的前n项和且S_n+1=4a_n+1(n∈N^*),设b_n=(n∈N^*),求证:数列{b_n}是一个等差数列.

Answer 1

分析:本题涉及到两个数列{a_n}、{b_n},而数列{b_n}是依附于{a_n}而派生出来的,因而首先要由已知S_n+1=4a_n+1导出{a_n}的递推关系式,进而由a_n与b_n的关系得出{b_n}的递推公式,然后运用递推公式法证明{b_n}是等差数列.

证明:∵S_n+1=4a_n+1,                                ①

∴S_n+2=4a_n+1+1.                                   ②

②-①得S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n.

    而S_n+2-S_n+1=a_n+2,

∴a_n+2=4a_n+1-4a_n.

    由b_n=得a_n=2ⁿb_n,

∴2ⁿ⁺²b_n+2=4·2ⁿ⁺¹b_n+1-4·2ⁿb_n,

    即有b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n.

    因此数列{b_n}是一个等差数列.