Question

在平面直角坐标系中，若

x+y-1≥0 x-1≤0 ax-y+1≥0

（a为正常数）所表示平面区域面积等于2
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）画出约束条件表示的可行域，通过三角形的面积求出B的坐标，然后求实数a 的值；
（Ⅱ）利用z=x²+y²，的几何意义，直接确定z的最大值时可行域内的点的位置和最小值时的位置求解即可．

解答：解：（Ⅰ）在平面直角坐标系中，画出约束条件

x+y-1≥0 x-1≤0 ax-y+1≥0

（a为正常数）
所表示的可行域，如图，因为平面区域面积等于2，即S_△ABC=

1

2

×|AB|×1=2，解得AB=4，
B（1，4），满足ax-y+1=0，即a-4+1=0，所以a=3．
所以实数a 的值为3；
（Ⅱ）z=x²+y²，表示可行域内的点到原点的距离的平方．
所以z的最大值为|OB|²，即(

(1-0)2+(4-0)2

)2=17，
 Z_max=17．
Z的最小值就是原点到直线AC距离的平方，即(

|-1|

2

)2=

1

2

．
即  Z_min=

1

2

．

点评：本题考查线性规划的简单应用，考查学生作图能力，转化思想以及计算能力．