Question

【题目】设椭圆E： 的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1 ， F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆E的焦距为1，∴ ，解得 ．

故椭圆E的方程为

（2）解：设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中 ．

由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率 = ，直线F2P的斜率 = ．

故直线F2P的方程为 ．

令x=0，解得 ．即点Q ．

因此直线F1Q的斜率 = ．

∵F1Q⊥F1P，∴ = ．

化为 ．

联立 ，及x0＞0，y0＞0，

解得 ， ．

即点P在定直线x+y=1上

【解析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出 ，解出即可；（2）设P（x0 ， y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中 ．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率 = ，直线F2P的方程为 ．即可得出Q ．得到直线F1Q的斜率 = ．利用F1Q⊥F1P，可得 = ．化为 ．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．