题目内容

（2013•临沂二模）某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：
答对题目个数 0 1 2 3
人数 5 10 20 15
根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；
（Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX．
分析：（Ⅰ）两人答对题目个数之和为4或5，包括从20人中取2人；从10人中取1人并从15人中取1人；从20人中取1人并从15人中取1人，由此可求概率；
（Ⅱ）确定X的可能取值，求出相应的概率，可得随机变量X的分布列及数学期望EX．
解答：解：（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则
P(A)=
C
2
20
+
C
1
10
C
1
15
+
C
1
20
C
1
15
C
2
50
=
190+150+300
25×49
=
128
245
，…（5分）
即两人答对题目个数之和为4或5的概率为
128
245
…（6分）
（Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3．
则P(X=0)=
C
2
5
+
C
2
10
+
C
2
20
+
C
2
15
C
2
50
=
350
1225
=
2
7
，…（7分）P(X=1)=
C
1
5
C
1
10
+
C
1
10
C
1
20
+
C
1
20
C
1
15
C
2
50
=
550
1225
=
22
49
，…（8分）
P(X=2)=
C
1
5
C
1
20
+
C
1
10
C
1
15
C
2
50
=
250
1225
=
10
49
，…（9分）
P(X=3)=
C
1
5
C
1
15
C
2
50
=
75
1225
=
3
49
．…（10分）
从而X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
2
7
22
49
10
49
3
49
故X的数学期望EX=0×
2
7
+1×
22
49
+2×
10
49
+3×
3
49
=
51
49
．…（12分）
点评：本题考查古典概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
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1
2
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1
2
)；
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u
=（1，sin（ωx+
π
2
）），
v
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3
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u
•
v
-
1
2
的最小正周期为π．
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π
2
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