Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0；
（1）求实数c，d的值；
（2）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3x²+2bx+c，f（x）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0，知f′（0）=c=2，切点坐标为（0，-1），由此能求出c和d．
（2）由f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），把对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x等价转化为对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt≤x³+bx²+3．令h（t）=et-lnt，t∈（0，1]，利用导数求出h（t）_min=2．故原题转化为?x∈[1，2]，x³+bx+3≥2恒成立．由此能求出实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）在x=0处的切线方程为2x-y-1=0，
∴f′（0）=c=2，切点坐标为（0，-1），
∴f（0）=d=-1．
故c=2，d=-1．
（2）∵f（x）=x³+bx²+cx+d（b≠0），
对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，
∴对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt-4≤x³+bx²-1，
∴对任意x∈[1，2]，均存在t∈（0，1]，使得et-lnt≤x³+bx²+3，
令h（t）=et-lnt，t∈（0，1]，
h′（t）=e-

1

t

=

et-1

t

=0，t=

1

e

，
∵0＜t＜

1

e

时，h′（t）＜0；

1

e

＜t＜1时，h′（t）＞0．
∴h（t）的减区间是（0，

1

e

），增区间是（

1

e

，1）．
∴h（t）_min=h（

1

e

）=e•

1

e

-ln

1

e

=2．
∴原题转化为?x∈[1，2]，x³+bx+3≥2恒成立．
∵b≥

-x3-1

x2

=-x-

1

x2

．
令g（x）=-x-

1

x2

，
g′（x）=-1+2x^-3=0，得x=

3	2

，
当1＜x＜

3	2

时，g′（x）＞0；当

3	2

＜x＜2时，g′（x）＜0；
∴g（x）的减区间是（

3	2

，2），增区间是（1，

3	2

）．
∴g（x）_max=g（

3	2

）=-

3	2

-

1

3 4

=

-3 3 2

2

，
∴b≥

-3 3 2

2

，且b≠0．
故实数b的取值范围是[

-3 3 2

2

，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想、分类讨论思想、导数性质的合理运用．