题目内容
如图，G是△ABC的重心，求证：| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
分析：如图（1）
要证
+
+
=
，只需证
+
=-
，即只需证
+
与
互为相反的向量．
如图（2）
由三角形的重心G，构造平行四边形BGCE，得对角线AC，GE；易得出
+
=
=2
，又
=
=2
，
=- 2
所以，
+
+
=-2
+2
=
．即证．
要证
| GA |
| GB |
| GC |
| 0 |
| GB |
| GC |
| GA |
| GB |
| GC |
| GA |
如图（2）
由三角形的重心G，构造平行四边形BGCE，得对角线AC，GE；易得出
| GB |
| GC |
| GE |
| GD |
| AG |
| GE |
| GD |
| GA |
| GD |
所以，
| GA |
| GB |
| GC |
| GD |
| GD |
| 0 |
解答：证明：如图（3），以向量
、
为邻边作平行四边形BGCE，则
+
=
=2
．
又因为点G为△ABC的重心，
所以
=
=2
，从而
=-2
．
∴
+
+
=-2
+2
=
．
图（3）
| GB |
| GC |
| GB |
| GC |
| GE |
| GD |
又因为点G为△ABC的重心，
所以
| AG |
| GE |
| GD |
| GA |
| GD |
∴
| GA |
| GB |
| GC |
| GD |
| GD |
| 0 |
图（3）
点评：向量的加法可以用几何法进行．正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性．
练习册系列答案
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如图，G是△ABC的重心，过G的直线与边AB，AC相交于E，F，若
如图，G是△ABC的重心，
如图，G是△ABC的重心，过G的直线与边AB，AC相交于E，F，若
，
，求证：
．
+
+
=
