Question

（本小题满分14分）

设函数,

（1）求证:不论为何实数在定义域上总为增函数;

（2）确定的值,使为奇函数;

（3）当为奇函数时,求的值域．

 

Answer 1

【答案】

(1) 见解析； (2)  

（3）为奇函数时，其值域为 

【解析】（1）先设x₁＜x₂，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x）恒成立，从而求得a值即可．

（3）由（2）知，利用指数函数y=2^x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．

(1) 的定义域为R, 设，且,

则=,

, ,

即,所以不论为何实数总为增函数．……………………5分

 (2) 为奇函数, ,即,

整理得 ，

则  ，解得:  

……………………10分

（4）由(2)知,

,,

故当为奇函数时，其值域为……………………14分

另解：由(2)知.

由，得，

当时，得，矛盾，所以；

故有.

当时，，所以，解得.

故当为奇函数时，其值域为………………14分