Question

（1）证明不等式：；
（2）已知函数f（x）=ln（1+x）-在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，求实数b的最大值。

Answer 1

解：（1）令，
则，
∴g(x)在（0，+∞）上单调递减，即g(x)<g(0)，
从而成立；
（2）由，
当x=0或时，，
由已知得在（0，+∞）上恒成立，
∴，
又f(x)在（0，+∞）有意义，
∴a≥0，
综上：；
（3）由已知在[0，+∞）上恒成立，
∵，
当x>0时，易得恒成立，
令得恒成立，
由（2）知：令a=2得：ln（1＋x）>，
∴；          
由（1）得：
，
当时，；
∴当时，不大于；
∴；
当x=0时，b∈R，
综上：。