Question

（本小题共15分）如图直角中，，，，点在边上，椭圆以为焦点且经过．现以线段所在直线为轴，其中中点为坐标原点建立直角坐标系．

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆内的一定点，点是椭圆上的一动点.求的最值.

（3）设椭圆分别与正半轴交于两点，且与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值.

Answer 1

（本小题共15分）

解：（1）设椭圆的方程为

由题意可得：

又

根据勾股定理可得：在中，

，

椭圆的方程为  …………………………5分

（2）根据（1）可知：为椭圆的焦点，则

而，即

最大值为；最小值为.  …………………………10分

（3）由（1）可知

将直线方程代入椭圆方程

关于坐标原点对称

根据点到直线的距离公式可得：

点到直线的距离为

同理可得：点到直线的距离为

所以，四边形的面积

即

   

   

    .

当且仅当即时取得等号成立.

.  …………………………15分