Question

【题目】已知数列的首项，其前n项和为，对于任意正整数，都有.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足.

①若，求证：数列是等差数列；

②若数列都是等比数列，求证：数列中至多存在三项.

Answer 1

【答案】（1）（2）①见证明；②见证明；

【解析】

（1）由可得，进而得到数列的通项公式；

（2）①由可得，利用待定系数法可得从而得证；②利用反证法证明即可.

（1）令，则由，得

因为，所以，

当时，，且当n=1时，此式也成立.

所以数列的通项公式为

（2）①【证法一】因为，

，

所以.

由得，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以数列是等差数列.

【证法二】

因为

所以

所以.

所以，

所以，

记

，

两式相减得，

所以，

所以，当时，，

由得，

所以，当时，，当n=1时，上式也成立，

所以，(iii)

所以数列是等差数列.

【证法三】

因为

所以，（i）

所以，（ii）

（i）-（ii）得，（iii）

所以，（iv）

（iii）-（iv）得，

所以.

由知.

所以，

所以数列是等差数列

②不妨设数列超过三项，令，

由题意，则有，

即，

代入，整理得 （*），

若p=q=1，则，与条件矛盾；

若，当n=1时，，①

当n=2时，，②

②÷①得，p=q，代入（*）得b=c，所以，与条件矛盾.

故这样的数列至多存在三项.