Question

设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

Answer 1

解：

（Ⅰ）方程可化为．

当时，．

又，

于是解得

故．

（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

，

即．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

令得，从而得切线与直线的交点坐标为．

所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为

．

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．