Question

（本题满分16分）

已知函数，且）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，关于的方程有唯一解，求的值；

（3）当时，证明: 对一切，都有成立．

Answer 1

解：（1）∵，将n=1代入已知等式得，

             同法可得， 。        

      （2）∵，，，，

∴由此猜想 。

           下面用数学归纳法证明。

       ① 当n=1和2时猜想成立；  

       ②假设当n=k（k≥2）时猜想成立，即，

        那么，当n=k+1时，因为，

        所以=(k+1)(2k+3)

        这就是说当n=k+1时猜想也成立。因此成立

      （3）假设存在常数c使数列成等差数列，则有

          把，，代入得 。

         当时，数列即为{2n+1}是公差为2的等差数列；

         当时，数列即为{2n}是公差为2的等差数列。

 ∴存在常数使数列成等差数列。