Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.

（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；

（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

答案：
解析：

解：∵四棱锥S—ABCD中ABCD为直角梯形. 又∵BC⊥AB  ∴AD⊥AB 又∵SA⊥面ABCD  ∴SA⊥AB  SA⊥AD 又∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A ∴AD⊥平面SAB （Ⅰ）VS—ABCD＝·SA·SABCD SABCD＝（AD＋BC）·AB AB＝1  BC＝1  AD＝ ∴SABCD＝（＋1）×1＝ ∴SS—ABCD＝×1×＝ （Ⅱ）延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线. 又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图. ∵AD＝BC且AD∥BC   ∴△ADE∽△BCE  ∴EA＝AB＝SA 又∵SA⊥AE  ∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE ∴由三垂线定理得DF⊥SE ∴∠DFA为二面角的平面角 ∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.