Question

已知函数在处取得极值，且恰好是的一个零点．
（Ⅰ）求实数的值，并写出函数的单调区间；
（Ⅱ）设、分别是曲线在点和（其中）处的切线，且．
①若与的倾斜角互补，求与的值；
②若（其中是自然对数的底数），求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）增区间，减区间；（Ⅱ）①，；②.

试题分析：（Ⅰ）根据函数在处取得极值有，以及是函数的一个零点，有，由这两个等式列方程组求和，从而确定函数，进而利用导数求函数的单调增区间与减区间；（Ⅱ）①在（Ⅰ）函数的解析式确定的基础上，由得，由与的倾斜角互补得到以及可以求出与的值；②根据这个条件确定与的关系，再进行适当转化利用基本不等式或函数的最值的思想求的取值范围.
试题解析：（Ⅰ），
由已知得： 得            3分
解得．                               4分
当时，，当时，，
所以函数单调减区间是，增区间是．         6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，       
依题意，直线和的斜率分别为和，
因为，所以，
所以．（*）
①因为与的倾斜角互补，所以， 
即，（**）                   8分
由（*）（**），结合，解得，，
即，．                             10分
②因为，所以，，
所以，
所以 ，当且仅当时，等号成立．
又因为，当且仅当时，等号成立．
所以．                      14分