Question

已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·=6，与的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)=sin²θ+2sinθ·cosθ+3cos²θ的最小值.

Answer 1

分析：(1)要建立θ与S之间的函数关系式，再利用余弦函数的单调性；(2)要把f(θ)化成Asin(ωx+φ)的形式.

解：(1) ·=||·||cosθ=6,                            ①

S=||·||·sin(π-θ)=||·||sinθ，   ②

    由②÷①得=tanθ,即tanθ=.

    由≤S≤3，得≤tanθ≤1,又θ为与的夹角，∴θ∈［0，π］，∴θ∈［，］.

(2)f(θ)=sin²θ+2sinθ·cosθ+3cos²θ=1+sin2θ+2cos²θ=2+sin2θ+cos2θ=2+sin(2θ+),∵θ∈［,］,∴2θ+∈［π,］.

∴2θ+=π,即θ=时，f(θ)的最小值为3.