Question

直线PO与平面α相交于O,过点O在平面α内引直线OA、OB、OC,∠POA=∠POB=∠POC.

       求证:PO⊥α.

      

Answer 1

证明:假设PO不垂直于平面α.?

       作PH⊥α并与平面α相交于H，此时H、O不重合,连结OH.?

       过P作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,?

       根据三垂线定理可知,HE⊥OA,HF⊥OB.?

       ∵∠POA=∠POB,PO是公共边,?

       ∴Rt△POE≌Rt△POF.∴OE=OF.?

       又OH=OH,∴Rt△OFH≌Rt△OEH.?

       ∴∠FOH=∠EOH.?

       因此,OH是∠AOB的平分线.?

       同理,可证OH是∠AOC的平分线.?

       但是,OB和OC是两条不重合的直线,OH不可能同时是∠AOB和∠AOC的平分线,产生矛盾.

       ∴PO⊥α.