Question

如图，过抛物线C：y²=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定，可得k_PA=，，利用k_PA=-k_PB，即可求得y₁+y₂的值；
（2）由（1）知，可得AB的方程，计算P到AB的距离，可得S_△PAB的面积，再利用换元法，构造函数，即可求得S_△PAB的最大值．
解答：解：（1）因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线C：y²=4x上，
所以，k_PA=，
同理，依题有k_PA=-k_PB，
所以，所以y₁+y₂=4．   （4分）
（2）由（1）知，
设AB的方程为，即，P到AB的距离为，，
所以
==，（8分）
令y₁-2=t，由y₁+y₂=4，y₁≥0，y₂≥0，可知-2≤t≤2.，
因为为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，
记f（t）=|t³-16t|=16t-t³，f′（t）=16-3t²＞0，故f（t）在[0，2]是单调增函数，
故f（t）的最大值为f（2）=24，
所以S_△PAB的最大值为6．（10分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查换元法，考查导数知识的运用，构建函数是关键．