Question

（06年重庆卷文）（12分）

如图，在增四棱柱中，，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：

（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；

（Ⅱ）二面角的正切值；

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图1）

连接．因为ＡＥ和分别是平行平面，

所以AE//,由此得

 

（Ⅱ）作于H,由三垂线定理知

即二面角的平面角.

.

从而.

解法二：（Ⅰ）由为异面直线与所成角．（如图2）

因为和AF是平行平面，

所以,由此得

 

（Ⅱ）为钝角。

作的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知

的平面角.

        .

从而.

解法三：（Ⅰ）以为原点，A₁B_1，A₁D₁，A₁A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，

于是，

因为和AF是平行平面

，所以．设Ｇ（0,y,0）,则

,于是.

故.设异面直线与所成的角的大小为,则:

,从而 

（Ⅱ）作 H,由三垂线定理知的平面角. 设H（a,b,0）,则:.由得:

……① 

 又由,于是

  ……②  

联立①②得:,

由 得:

.