Question

（06年重庆卷文）（12分）

如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。

（Ⅰ）试证：；

（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；

Answer 1

解析：证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为

将它与抛物线方程联立得:

,由一元二次方程根与系数的关系得．

（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处

的切线的斜率故在处的切线的方程为：

，……①

类似地，可求得在处的切线的方程为：

，……②

由②－①得：，

……③

将③代入①并注意得交点的坐标为．

由两点间的距离公式得：

．

现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：