Question

（本小题满分12分）若实数a＞0且a≠2，函数.

（1）证明函数f（x）在x＝1处取得极值，并求出函数f（x）的单调区间；

（2）若在区间（0，＋∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜1成立，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

（1）见解析；（2）（0，）∪（6，＋∞）

【解析】

试题分析：（1）只需证明x＝1是导函数的零点，进而通过对a的讨论，可求出单调区间；（2）只需在（0，＋∞）上f（x）最小值＜1即可.

试题解析：（1）∵

∴f '（x）＝ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－1）（x－）

当a＞2时，0＜＜1，列表如下：

∴函数f（x）在x＝1处取得极小值，

f（x）的单调递增区间是（－∞，）和（1，＋∞），单调递减区间是（，1）.

当0＜a＜2时，＞1，列表如下：

∴函数f（x）在x＝1处取得极大值

f（x）的单调递增区间是（－∞，1）和（，＋∞），单调递减区间是（1，）.

（2）因为f（0）＝1，由（1）知要使在区间（0，＋∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜1成立，只需在区间（0，＋∞）上f（x）极小值＜1即可

当a＞2时，f（x）极小值＝f（1）＝2－＜1，所以a＞6.

当0＜a＜2时，f（x）极小值＝f（）＝1＋＜1，解得0＜a＜

综上所述，实数a的取值范围是（0，）∪（6，＋∞）

考点：利用导数研究函数的单调性，极值，不等式恒成立问题