Question

已知函数y=

2x-a

2x+1

为R上的奇函数
（1）求a的值
（2）求函数的值域
（3）判断函数的单调区间并证明．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可；
（2）由（1）知 f(x)=1-

2

2x+1

，利用指数函数2^x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．
（3）先设x₁＜x₂，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即

2-x-a

2-x+1

=-

2x-a

2x+1

，
解得：a=1．
∴y=

2x-1

2x+1

．
（2）由（1）知f(x)=1-

2

2x+1

（4），
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜f（x）＜1
所以函数的值域为 （-1，1）．
（3）∵f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则 f(x1)-f(x2)=1-

1

2x1+1

-1+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．