Question

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）若l₁、l₂都和圆C相切，求直线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅲ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意得l₁，l₂的斜率都存在，设，则，由此能够求出直线l₁、l₂的方程．
（2）设圆的半径为r，则解得，由此能得到所求圆M的方程．
（3）当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦长分别是d₁、d₂；圆心为B，则AEBF为矩形，所以BE²+BF²=AB²=1，由此能够求出l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值．
解答：解：（1）根据题意得l₁，l₂的斜率都存在，设（1分）
则（6分）
（2）设圆的半径为r，则解得
所以所求圆M的方程为（11分）
（3）当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l₁、l₂被圆C所截得弦长分别是d₁、d₂；圆心为B，则AEBF为矩形，
所以BE²+BF²=AB²=1，即∴d₁²+d₂²=28，（14分）
所以
即l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值（16分）
点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．