Question

（2009•浦东新区一模）已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，g(x)=f(x-2)+

1

3

．当x∈[-2，0）∪（0，2]时，g(x)=

1

2|x|-1

 ，  g(0)=0，则方程g(x)=log

1

2

(x+1)的解的个数为

2

．

Answer 1

分析：由已知，g（x）的定义域为x∈[-2，6]，利用f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，且g(x)=f(x-2)+

1

3

 通过转化可以 再求出x∈[2，6]时解析式，便确定了g（x），最后结合函数大致图象得出交点个数，即为解的个数．

解答：解：∵f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，由x-2∈[-4，4]，得g（x）的定义域为x∈[-2，6]．∵g(x)=

1 2|x-1      x∈[-2，0)∪(0，2] 0      x=0

①
∴f（x-2）=g（x）-

1

3

=

1 2|x-1 - 1 3    x∈[-2，0)∪(0，2] - 1 3     x=0

   x-2∈[-4，0]，当x∈[2，6]时，2-x∈[-4，0]
g(x)=

-f(2-x)+ 1 3 =- 1 2|4-x-1 + 2 3     x∈[2，4)∪(4，6] -f(2)+ 1 3 = 2 3   x=4

②
①②合起来即为函数g（x）在定义域x∈[-2，6]上的解析式，结合y=log

1

2

(x+1)得出两图象交点个数是2
即方程g(x)=log

1

2

(x+1)的解的个数为 2
故答案为：2

点评：本题考查函数的奇偶性的应用，分段函数，考查转化、计算、分类讨论、函数与方程的思想方法和能力．