Question

如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=xe₁+ye₂（其中e₁、e₂分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x，y）.

（1）若P点斜坐标为（2，－2），求P到O的距离|PO|；

（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.

Answer 1

(1) |OP|=2 (2) x²+y²+xy=1

解析:

（1）∵P点斜坐标为（2，－2），

∴=2e₁－2e₂.        ∴||²=（2e₁－2e₂）²=8－8e₁·e₂=8－8×cos60°=4.

∴||=2，即|OP|=2.

（2）设圆上动点M的斜坐标为（x，y），则=xe₁+ye₂.

∴（xe₁+ye₂）²=1.       ∴x²+y²+2xye₁·e₂=1.      ∴x²+y²+xy=1.

故所求方程为x²+y²+xy=1.