题目内容

数列{an}满足Sn=2n-an,n∈N*,

(1)计算a1,a2,a3,a4.

(2)猜想{an}的通项公式,并证明.

解：(1)∵a1=b1,

∴a1=2×1-a1,即a1=1.

S2=a1+a2=2×2-a2.

∴2a2=4-a1.∴a2=.

同理可求a3=,a4=.

(2)猜想an==2-()n-1,

①当n=1时,a1=1,等式成立.

②假设当n=k时,ak=2-()k-1成立.

当n=k+1时,由Sk+1=Sk+ak+1=2k-ak+ak+1=2(k+1)-ak+1,

∴2ak+1=2-ak=4-()k-1.

∴ak+1=2-()k+1-1=2-()k.

∴当n=k+1时等式成立.

由①②知对任何n∈N*,等式都成立.

练习册系列答案
相关题目
数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N）
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．
数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想通项公式an．
数列{an}满足Sn=2n-an，其中Sn=a1+a2+a3+…+an，求a1，a2，a3，a4值，猜想an，并用数学归纳法加以证明．
已知正项数列{ an }满足Sn+Sn-1=
2
ta
n
+2 （n≥2，t＞0），a1=1，其中Sn是数列{ an }的前n项和．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）记数列{
1
anan+1
}的前n项和为Tn，若Tn＜2对所有的n∈N*都成立．求证：0＜t≤1．
若正数数列{an}满足Sn=
1
2
(an+
1
an
)，其中Sn是数列{an}的前n项和．
（1）求Sn；
（2）若bn=(
S
2
n
)
1
S
2
n+1
，是否存在bk=bm（k≠m）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由．

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